STAT 542: Statistical Learning Support Vector Machines Ruoqing Zhu, Ph.D.
Course Website: https://teazrq.github.io/stat542/ November 4, 2020 Department of Statistics University of Illinois at Urbana-Champaign 1/51 Overview • We have training data: Dn = {xi, yi}ni=1 — xi ∈ Rp — Code yi ∈ {−1, 1} • Estimate a function f(x) ∈ R • The classification rule C(x) = sign{f(x)} outputs the label • The optimal classifier is: C∗(x) = sign { P(Y = 1|X = x)− P(Y = −1|X = x) } 2/51 Outline • Linear SVM in Separable Case (separation margin) • Linear SVM in non-Separable Case (slack variables) • Non-linear SVM (Kernel trick) • Penalized version of SVM 3/51 Linear SVM in Separable Case Binary Large-Margin Classifiers • Since yi ∈ {−1, 1}, our classification rule using f(x) is yˆ = + 1 if f(x) > 0 yˆ =− 1 if f(x) < 0 • We have a correct classification if yif(xi) > 0 • Functional margin yif(xi): • positive means good (at the correct side) • negative means bad (at the wrong side) 4/51 Separating Line • Linearly separable: find f(x) = xTβ + β0 to separate two groups of points l l l l l l l l l l l l −1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 X1 X2 l l Positive Negative l l l l l l l l l l l l −1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 X1 X2 l l Positive Negative 5/51 Separating Line • Which line is the best? • What would logistic regression do? • Related to another method called Perceptron l l l l l l l l l l l l −1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 X1 X2 l l Positive Negative 6/51 Maximum Separation • SVM searches for a line by maximizing the separation margin l l l l l l l l l l l l −1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 X1 X2 l l Positive Negative 7/51 Signed Distance to the Hyperplane • We define the (linear) separating hyperplane as {x : β0 + xTβ = 0} • For any point x0 on the hyperplane xT0β = −β0 • Signed distance of x to the plane is 〈 β‖β‖ , x− x0〉 Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 4 x0 x β∗ β0 + β Tx = 0 FIGURE 4.15. The linear algebra of a hyperplane (affine set). 8/51 Signed Distance to the Hyperplane • Define the linear function f(x) = β0 + xTβ • The affine hyperplane L: {x : f(x) = β0 + xTβ = 0} • The normal vector (perpendicular) to L is β∗ = β/‖β‖ • For any point x0 ∈ L, we have xT0β = −β0 • The signed distance of any point x to L is (x− x0)Tβ∗ = 1‖β‖ (x Tβ + β0) = f(x) ‖β‖ Thus f(x) is proportional to the signed distance from x to L. 9/51 Maximum Margin Classifier • Goal: Separate two classes and maximizes the distance to the closest points from either class (Vapnik 1996) max β,β0,‖β‖=1 M subject to yi(xTiβ + β0) ≥M, i = 1, . . . , n. • Interpretation: All the points are at least a signed distance M from the decision boundary • Recall that f(xi) = (xTiβ + β0)/‖β‖ is the signed distance. • If yi is +1, we require f(xi) ≥M ; • If yi is −1, we require f(xi) ≤ −M . • Maximize the minimum distance (margin) 10/51 Maximum Margin Classifier • This problem requires the constraint ‖β‖ = 1 • To get rid of this, we replace the conditions with 1 ‖β‖yi(x T iβ + β0) > M • Since the scale of β does not play a role in this inequality, we can arbitrarily set ‖β‖ = 1/M . Hence the original problem is equivalent to min β,β0 ‖β‖2 subject to yi(xTiβ + β0) ≥ 1, i = 1, . . . , n. • Recall our previous derivation of the signed distance, this is requiring that all points are at least 1/‖β‖ away from the separating plane 11/51 Optimization Problem for SVM • Linear SVM for perfectly separable case • Solve for parameters β and β0 in the primal optimization problem minimize 1 2 ‖β‖2 subject to yi(xTiβ + β0) ≥ 1, i = 1, . . . , n. • This is only possible for perfectly separable case • How to solve this optimization problem? 12/51 Equality Constrained Optimization Problem • Consider a equality constrained optimization problem: minimize θ g(θ) subject to h(θ) = 0 • g(θ): objective function • h(θ): equality constrain(s) • S = {θ : h(θ) = 0}: feasible set • feasible point: a point in the feasible set 13/51 Lagrange Multiplier • Define the Lagrangian L = g(θ) + αh(θ) where α is called the Lagrange multiplier. • Intuition: • For every θ such that h(θ) = 0, ∇h(θ) is orthogonal to the surface defined by the feasible set; • If θ∗ is a local minimum, then ∇g(θ) is orthogonal to the surface at θ∗ — otherwise we would move along that surface and reach a smaller value • This leads to the conclusion that the gradients ∇h(θ) and ∇g(θ) have to be parallel at θ∗: ∇g(θ∗) = −α∇h(θ∗) 14/51 Inequality Constrained Optimization Problem • Consider a inequality constrained optimization problem: minimize θ g(θ) subject to hi(θ) ≤ 0, for all i = 1, . . . n • Consider a generalized version of Lagrangian L(θ,α) = g(θ) + n∑ i=1 αihi(θ) • L has two arguments θ and α 15/51 Primal to Duel Problem • Lets look at this problem from two different ways: • If we maximize αi’s first (for a fixed θ): max α0 L(θ,α) • In this case, if θ violates any of the constraints, i.e., hi(θ) > 0 for some i, I can choose an extremely large αi such that the above quantity is∞. • Hence, we can consider the primal problem min θ max α0 L(θ,α) • The solution of this has to satisfy all the constraints, and g(θ) is minimized 16/51 Primal to Duel Problem • If we minimize θ first, then maximize for α, we would get the dual problem max α0 min θ L(θ,α) • The two are generally not the same max α0 min θ L(θ,α)︸ ︷︷ ︸ duel ≤ min θ max α0 L(θ,α)︸ ︷︷ ︸ primal • However, they are the same if (sufficient) – both g and hi’s are convex – and the constraints hi’s are feasible • A convex optimization problem. • Further reading: The Karush-Kuhn-Tucker (KKT) conditions are sufficient and necessary for a global solution 17/51 From Primal to Duel: Formulation • Now we are finally in a position to solve the duel problem, recall that the original primal can be rewritten as min β,β0 1 2 ‖β‖2 subject to − {yi(xTiβ + β0)− 1} ≤ 0, i = 1, . . . , n. • Lagrangian for our optimization problem is L(β, β0,α) = 1 2 ‖β‖2 − n∑ i=1 αi { yi(x T iβ + β0)− 1 } • Instead of solving this using the primal, we solve for the duel, which first minimize L(β, β0,α) with respect to β and β0, then maximize over α. 18/51 Solving the Duel Problem • To solve for β and β0, we take derivatives with respect to them: β − n∑ i=1 αiyixi = 0 (∇βL = 0) n∑ i=1 αiyi = 0 (∇β0L = 0) • Take the solutions of β and β0 and plug back into the Lagrangian, we have L(β, β0,α) = n∑ i=1 αi − 1 2 n∑ i,j=1 yiyjαiαjx T i xj 19/51 Solving the Duel Problem • We need to then maximizing over α • This leads to the dual optimization problem: max αi n∑ i=1 αi − 1 2 n∑ i,j=1 yiyjαiαjx T i xj subject to αi ≥ 0, i = 1, . . . , n. n∑ i=1 αiyi = 0 • This is another quadratic programming problem • There are additional advantages (kernel trick coming soon) 20/51 Linear SVM algorithm (dual form) • The SVM problem for separable case can be carried out as follows: • Solve dual for αi’s (those points for which αi > 0 are called “support vectors”) • Obtain β̂ = ∑n i=1 αiyixi • Obtain β0 by calculating the midpoint of two “closest” support vectors to the separating hyperplane β̂0 = − maxi:yi=−1 x T i β̂ +mini:yi=1 x T i β̂ 2 • For any new observation x, the prediction is sign ( xTβ̂ + β̂0 ) 21/51 Remarks • If the classes are really Gaussian, then • LDA is optimal • The separating hyperplane pays a price for focusing on the noisier data at the boundaries • Optimal separating hyperplane has less assumptions, thus more robust to model misspecification • The logistic regression solution can be similar to the operating hyperplane • For perfectly separable case, the likelihood solution can be infinity 22/51 Linear SVM in non-Separable Case Linearly non-Separable l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l −1 0 1 2 0 1 2 X1 X2 l l Positive Negative 23/51 General Case for SVM • Non-separable means that the “zero”-error is not attainable • We introduce “slack variables” {ξi}ni=1 that accounts for these errors • Change the original optimization problem to minimize 1 2 ‖β‖2 + C n∑ i=1 ξi subject to yi(xTβ + β0) ≥ (1− ξi), i = 1, . . . , n, ξi ≥ 0, i = 1, . . . , n, where C > 0 is a tuning parameter for “cost” 24/51 Linearly non-Separable Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 12 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • margin M = 1‖β‖ M = 1‖β‖ xT β + β0 = 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• margin ξ∗1 ξ∗2 ξ∗3 ξ∗4 ξ∗5 M = 1‖β‖ M = 1‖β‖ xT β + β0 = 0 FIGURE 12.1. Support vector classifiers. The left panel shows the separable case. The decision boundary is the solid line, while broken lines bound the shaded maximal margin of width 2M = 2/‖β‖. The right panel shows the nonseparable (overlap) case. The points la- beled ξ∗j are on the wrong side of their margin by an amount ξ∗j = Mξj; points on the correct side have ξ∗j = 0. The margin is maximized subject to a total budget P ξi ≤ constant. Hence P ξ∗j is the total dis- tance of points on the wrong side of their margin. Slack variables in linearly n n-separable case 25/51 Interpretation • The objective function consists of two parts • For observations that cannot be classified correctly, ξi > 1. So∑ i ξi is an upper bound on the number of training errors • Minimize the inverse margin 1 2 ‖β‖2 • The tuning parameter C • Balances the error and margin width • For separable case, C =∞ • Inequality constraints • Soft classification to allow some errors 26/51 Solving SVM with Slack Variables • The new optimization problem does noting but putting more constraints minimize 1 2 ‖β‖2 + C n∑ i=1 ξi subject to yi(xTβ + β0) ≥ (1− ξi), i = 1, . . . , n, ξi ≥ 0, i = 1, . . . , n, • We can again write the Lagrangian primal L(β, β0,α, ξ) is 1 2 ‖β‖2 + C n∑ i=1 ξi − n∑ i=1 αi { yi(x T iβ + β0)− (1− ξi) }− n∑ i=1 γiξi where αi, γi ≥ 0. 27/51 Solving SVM with Slack Variables • It is trivial now to get the derivatives: β − n∑ i=1 αiyixi = 0 (∇βL = 0) n∑ i=1 αiyi = 0 (∇β0L = 0) C − αi − γi = 0 (∇ξiL = 0) 28/51 Solving SVM with Slack Variables • Substituting them back into the Lagrangian, we have the dual form max αi n∑ i=1 αi − 1 2 n∑ i,j=1 yiyjαiαj〈xi, xj〉 subject to 0 ≤ αi ≤ C, i = 1, . . . , n. n∑ i=1 αiyi = 0 • Note that I write 〈xi, xj〉 instead of xTi xj . This will come with more advantage later on. 29/51 Support Vectors • After solving the optimization problem, the observations with 0 < αi < C are the support vectors that lie on the margin • Hence, we can obtain those observations, and perform the same approach as the separable case to calculate β̂0 30/51 Linearly non-Separable l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l −1 0 1 2 0 1 2 X1 X2 l l Positive Negative l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l −1 0 1 2 0 1 2 X1 X2 l l Positive Negative The support vectors for linearly non-separable case 31/51 Remark • Large C puts more weight on misclassification rate than margin width • Small C puts more attention on data further away from the boundary • Cross-validation to select C 32/51 Non-linear SVM and Kernel Trick Flexible Classifiers • In many cases, linear classifier is not flexible enough • An example from the HTF text book: SVM with linear kernal x1 x2 −2 −1 0 1 2 3 4 − 2 − 1 0 1 2 3 l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l ll l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l • How do we create nonlinear boundaries? 33/51 Flexible Classifiers 34/51 Flexible Classifiers 35/51 Flexible Classifiers • Enlarge the feature space via basis expansions: map into the feature space Φ : X → F , Φ(x) = (φ1(x), φ2(x), . . .) where F has finite or infinite dimensions. • The decision function becomes f(x) = 〈Φ(x), β〉 • Kernel trick: only the inner product matters K(x, z) = 〈Φ(x),Φ(z)〉 we do not need to explicitly calculate the mapping Φ. 36/51 Kernel trick • Naive approach: If we know Φ(x), we could calculate it for all xi’s, treat them as the new features, and optimize max αi n∑ i=1 αi − 1 2 n∑ i,j=1 yiyjαiαj〈Φ(xi),Φ(xj)〉 subject to 0 ≤ αi ≤ C, i = 1, . . . , n. n∑ i=1 αiyi = 0 • However, this is not necessary. • Kernel trick saves computation time! 37/51 Kernel trick • An example: suppose we want to include all (just) second order terms of all variables • Consider a kernel function K(x, z) = (xTz)2, where both x and z are p dimensional vector. • Consider alternatively, let Φ(x) be the basis expansion that consists all xkxl for 1 ≤ k, l ≤ p • We can show that the kernel distance is essentially the same as the cross-product of basis expansions 38/51 Kernel trick • Its easy to see that K(x, z) = ( p∑ k=1 xkzk )( p∑ l=1 xlzl ) = p∑ k=1 p∑ l=1 xkzkxlzl = p∑ k,l=1 (xkxl)(zkzl) = 〈Φ(x),Φ(z)〉 • For the last line, we define Φ(x) as a vector consists of all (xkxl) for 1 ≤ k, l ≤ p, which are just the second order terms of all variables 39/51 Kernel trick • What is the advantage here? • Calculating this kernel distance requires doing p products and square the sum, if the length of x is p. So the computation time is O(p) • However, calculating 〈Φ(xi),Φ(xj)〉 directly for subject pair (i, j) would require p2 for either Φ(xi) or Φ(xj) (because this is a large vector), then again calculating the inner project. The computation time is O(p2) • This saves a lot of computational time, and it is the reason that we went all the way from the primal form the dual form to solve SVM: the primal form cannot utilize the kernel trick because there is no inner product involved. 40/51 Kernel trick • So, for any given Φ(x), how do we find the corresponding kernel? • That is kinda tricky... • However, for any properly defined kernel function, by Mercer’s theorem, we know that it will be correspond to some feature mapping construction Φ(x) • This requires K(·, ·) to be symmetric, and the corresponding kernel matrix (n× n matrix for all pairwise distance of n samples) is positive semi-definite • There are numerous articles about Mercer’s theorem and related concept, the reproducing kernel Hilbert space 41/51 Kernel trick • All its left for us is to find a proper kernel function, and use that in the SVM • Popular choices of Kernels: • dth degree polynomial: K(x1, x2) = (1 + x T 1x2) d • Radial basis: K(x1, x2) = exp(−‖x1 − x2‖2/c) • Be careful that for Φ(x) to exist, K(·, ·) cannot be arbitrary. 42/51 Polynomial and Radial Kernels Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 12 SVM - Degree-4 Polynomial in Feature Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Two nonlinear SVMs for the mix- ture data. The upper plot uses a 4th degree polynomial Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 12 SVM - Degree-4 Polynomial in Feature Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o oo o o o o o o o oo o o o o oo o o o oo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oo o o o o o o o o o o o o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • Training Error: 0 160 Test Error: 0 218 Bayes Error: 0.210 FIGURE 12.3. Two nonlinear SVMs for the mix- ture data. The upper plot uses a 4th degree polynomial 43/51 Convexity of SVM • Is SVM a convex (taking out the negative sign) optimization problem? (especially after the Kernel trick) n∑ i,j=1 yiyjαiαjK(xi, xj) (1) = αT diag(y)Kdiag(y)α • Convexity will be guaranteed if the Kernel matrix K is positive semidefinite. • Mercer’s theorem: The kernel matrix K is positive semidefinite iff the function K(xi, xj) is equivalent to some inner product 〈Φ(xi),Φ(xj)〉. 44/51 SVM as a Penalization Method Loss + Penalty • Recall that SVM with soft margin is trying to solve minimize 1 2 ‖β‖2 + C n∑ i=1 ξi subject to yi(xTβ + β0) ≥ (1− ξi), i = 1, . . . , n, ξi ≥ 0, i = 1, . . . , n, • We can consider letting f(x) = xTβ + β0, and treat 1− yi(xTβ + β0) as a certain loss, we reach to a penalized loss framework: minimize n∑ i=1 [ 1− yif(xi) ] + + λ‖β‖2 • “Loss L + Penalty P (β)”, the regularization parameter λ = 1/C. • No constrains, same solution as the SVM 45/51 Loss + Penalty • The loss function that we are using is not a squared loss or 0/1 loss, its called the Hinge loss • Hinge Loss L(y, f(x)) = [1− yf(x)]+ = max(0, 1− yf(x)) • However, Hinge loss is not differentiable. There are some other loss functions for classification purpose: • Logistic loss: L(y, f(x)) = log(1 + e−yf(x)) • Modified Huber Loss: L(y, f(x)) = { max(0, 1− yf(x))2 for yf(x) ≥ −1 −4yf(x) otherwise 46/51 Comparing loss functions 47/51 Comparing loss functions • Since Hinge Loss is not differentiable, we cannot use gradient methods, but a sub-gradiant exist • Logistic loss, Modified Huber Loss and Squared error loss can be solved using gradient decent • These methods will be faster and maybe preferred when solving a large system • 0/1 loss is hard to implement since it is not continuous 48/51 Nonlinear SVM • Again, we might want to consider nonlinear decision functions. A nonlinear SVM (with hinge loss) solves min f n∑ i=1 [1− yif(xi)]+ + λ‖f‖2HK where f (nonlinear) belongs to a reproducing kernel Hilbert space HK, which is determined by the kernel function K, and ‖f‖2HK denotes the corresponding norm. • This space can be very large, however, the solution to this can be simple (Representer Theorem: Kimeldorf and Wahba, 1970), and takes the following form f̂(x) = β1K(x, xi) + · · ·+ βnK(x, xn) 49/51 Representer Theorem • Hence the optimization becomes n∑ i=1 L(yi,K T iβ) + λβ TKβ, where k is the kernel matrix with Kij = K(xi, xj), and Ki is the i the column of K • An unconstrained optimization problem • We can use gradient decent if L is differentiable • So this is a ridge penalty? will we a sparse solution? 50/51 R packages and functions • R packages: • e1071 : function svm • kernlab : function ksvm • svmpath : compute the entire regularized solution path • quadprog : solving quadratic programming problems (primal or dual) • Machine learning R packages overview: cran.r-project.org/web/views/MachineLearning.html 51/51 欢迎咨询51作业君
